Makaleler

Makale 1

Bilgi çagi olarak nitelenen günümüzde bilgi birikimi çok hizli artiyor ve artik kitaplara sigmayacak; sinifta ögretilemeyecek hale gelmistir. Bu baglamda, ögrenim görmüs bireylerin bilimsel okuryazar, fen okuryazari, matematik okuryazari (MATO) ve bilgisayar okuryazari olmasi gelismis ülkelerin ögretimsel hedeflerinin basinda gelmeye baslamistir. Alsina (2002), küresellesmenin oldugu günümüzde, matematik ögretimine nasil küresel açidan bakacagimizi düsünme zamaninin geldigini; okullarda ögretilen matematigin ögrencinin gerçek hayatina çok daha fazla hitap etmesi gerektigini, ögrencilerin sadece soyut düsünme yeteneklerinin gelistirilmesi hedefinin matematik gibi evrensel bir dil için yeterli olamayacagini vurgulamaktadir.

Kilpatrick (2001), ABD'de ögrencilerin matematik ögretiminde yasadiklari ögrenme sorunlarini asmada, her sinif ve seviye için hedefin "matematiksel yeterlik" oldugunu vurgulamaktadir. Amit ve Fried (2002), Israil'de matematik ögretiminin 1990'li yillarda yeniden yapilandigini;ögretimde yasanan anlama ve ögrenme sorunlarini asmada ögrencilerin matematikle çok daha içi içe olmalarini ve matematigi günlük hayatlarina katmalari gerektigini ifade etmektedir.

Matematik; uzay ve zaman arasindaki nicel ve nitel iliskilerle ilgilenen; dünyayi anlama ve yönetme istegini içeren problem çözme, mantikli düsünme, modeller olusturma gibi konularla ilgilenen bir insan çabasidir. Matematik ve fendeki bilgi birikimi, insanligin önde gelen bilimsel ve kültürel basarilaridir ve bu kültürü her bireyin kazanma hakki vardir (URL 1, 2002). MATO ise yaklasik on yildir matematik ögretim programlarinda reform niteligindeki çalismalarda geçen bir kavramdir. MATO'in tanimini, OECD'nin kurdugu Uluslararasi Ögrenci Degerlendirme Programi (PISA) su sekilde yapmistir:

"Matematiksel okuryazarlik; bireyin düsünen, üreten ve elestiren bir vatandas olarak bugün ve gelecekte karsilasacagi sorunlarin çözümünde matematiksel düsünme ve matematiksel karar verme süreçlerini kullanarak çevresindeki dünyada matematigin oynadigi rolü anlama ve tanima kapasitesidir." (OECD, 2000, s. 10)

MATO, günümüzde matematik ögretiminin hedeflerinin yeniden düsünülmesinin yoluna açan kavramlardan biridir. MATO kazanmis bir bireyin nitelikleri sunlardir: (a)Sayilarla islem yapma yollarini anladigini sergileyebilme, (b)Farkli sekillerde sayisal modeller üretebilme ve düzenleyebilme, (c)Çesitli sosyal ve kültürel baglamlarda matematigin tarihsel gelisimini anladigini sergileyebilme, (d) Matematiksel dili; matematiksel düsüncelerin, kavramlarin, genellemelerin ve süreçlerin ifadesinde kullanabilme, (e)Sosyal, politik ve ekonomik islerde ne tür matematiksel iliskiler oldugunu analiz edebilme, (f) Çesitli mantiksal süreçleri; isabetli tahminlerde bulunma, test etme ve formüllestirmede kullanabilme, (g)Çesitli açilardan yeterlige ve güvenirlige karar verebilme, (h)Bilgiye dayali kararlar vermede verileri analiz edebilme, (i) Bütün duyulari kullanarak; sekil, uzay, zaman ve hareketle ilgili deneyimleri tanimlayabilme, (i)Dogal sekilleri, kültürel ürünleri ve süreçleri; zaman, sekil ve uzayin temsilcileri olarak analiz edebilme (URL 1 , 2002).

Matematiksel okuryazar bir bireyin niteliklerinin 4 boyutta toplandigi söylenebilir:

1. Matematik konu alani boyutu: Temel matematiksel islemler, sayilar, geometri ve trigonometri gibi bilgi ve becerileri içerir.

2. Matematiksel süreçler (düsünme) boyutu: Ölçme, bir ifadeyi matematiksel ifadeye dönüstürebilme, matematiksel dili kullanabilme, problem çözebilme, matematiksel düsünebilme gibi bilgi ve becerileri içerir.

3. Matematigin tarihsel gelisimi boyutu: Matematigin gelisim süreci, ünlü matematikçiler ve görüsleri gibi bilgileri içerir.

4. Güncellik boyutu: Sosyal, güncel ve bilimsel olaylardaki matematiksel iliskileri görebilme ve kullanabilme gibi bilgi ve becerileri içerir.

Bu niteliklerden bazilari, ülkemizde matematik ögretim programlarinin da hedeflerindendir. Fakat mevcut matematik ögretimi, matematik bilgisi boyutuna agirlik verdigi için ögrenciler matematigi güncel yasamdan kopuk soyut islemlerden olusan, ögrenilmesi zor, sikici, sevilmeyen ve korkulmasi gereken bir ders olarak görmektedirler. Matematik basarisizligin en yüksek oldugu derslerden biridir (Aksu, Demir ve Sümer, 1998). Ersoy (1997), ülkemizin egitim sisteminde pek çok sorunlarin oldugunu bu sorunlarin çözümünde, genel ilkeler, politikalar ve yasal düzenlemelerin yapilmasi gerektigini vurgulamistir. Matematik ögretiminin yeniden yapilanmasi için önerilerde bulunmus, matematiksel okuryazarligin saglanmasi gerektigini ifade etmistir. Matematik dersinin daha ögrenilebilir ve anlasilabilir hale getirilmesinde dersin güncel hayatla iliskisi kurulmali, matematigin tarihsel gelisimi üzerinde de durulmalidir. Böylece ögrenciler, matematik bilgisinin insan zekasinin ürünü oldugunu, yani gökten inmedigini daha kolay anlayacaklardir. Bu sayede insan ürünü bir bilgi birikimi oldugunu anladiklari matematigi, kendilerinin de basarabilecegi düsüncesi gelisecektir.

Matematik ve fen okuryazarligi gibi ögretimsel hedeflerin artik uluslararasi düzeyde kabul gördügünü, TIMSS'de matematik ve fen okuryazarligi testinin uygulanmasi göstermektedir (Mullis, Martin, Beaton, Gonzales, Kelly ve Smith, 1998).

Ögretmen, okulda ögrenme üzerine etki eden en önemli etmenlerin basindadir. Yeni ögretim programlari hazirlansa ve okul sartlari iyilestirilse de ögretmenler yetersiz olursa yine basariya ulasilamaz (Fullan, 1997).

"Matematikte, dünyanin en güzel ve motive edici uygulamasi, kendine güveni olmayan ögretmenin ellerinde bir felakete dönüsür.." (Alsina, 2002)

Okulda matematik ögrenen bireylere MATO niteligi kazandiracak olan ögretmenlerin ve ögretmen adaylarinin MATO kavramini bilmeleri ve MATO düzeylerinin yüksek olmasi önemlidir. Çünkü bu bilgi ve anlayis ilerde ögretimlerine yansiyacaktir.

Bu çalisma, gelecegin matematik ögretmenleri olacak olan ögretmen adaylari ile yürütülmüstür. Çalismanin amaci, matematik ögretmen adaylarinin (MÖA) matematiksel okuryazarlik düzeylerinin tespit edilmesidir.

YÖNTEM

Çalismada, özel durum metodolojisi kullanildi. Örneklem KTÜ Fatih Egitim Fakültesi Ilkögretim Matematik Ögretmenligi Bölümü 4. Sinif ögrencilerinden rastgele seçilen 80 MÖA'dir. MATO düzeyi, 24 soruluk çoktan seçmeli bir testle belirlendi. Sorular hazirlanirken TIMSS sinav sorulari incelendi. MATO'in gerektirdigi bilgi ve beceriler için sorular yazildi yada mevcut kaynaklardan alindi. Testin Kuder-Richardson güvenirlik katsayisi r = 0.93 ; ortalama madde güçlügü 0.53 olarak hesaplandi. MÖA'larina testle birlikte 2 soruluk bir anket de verildi. Bu anketle MÖA'larinin matematikle ilgili herhangi bir bilimsel yayini takip edip etmedigi ve bilgisayar kullanma durumlari hakkinda bilgi toplandi.

BULGULAR VE TARTISMA

Anketten, örneklemdeki MÖA'larinin %38'inin kiz, %62'sinin erkek oldugu; Matematik Dünyasi (%28), Bilim Teknik (%12) ve Genç Beyin (%12) dergilerini takip ettikleri belirlendi. Tamaminin bilgisayar kullanma temel bilgi ve becerisi yaninda Logo, Cabri, Drive gibi programlari da bildikleri tespit edildi. MÖA'larinin test puanlarinin ortalamasi 53. 90'dir. Testten alinan ham puanlarin frekans dagilimi Tablo 2'dedir.

Tablo 2. Matematiksel okuryazarlik testi ham puanlarinin frekans dagilimini (n= 80)

Ham puan	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7
Frekans	1	6	3	7	9	8	12	7	6	9	3	1	4

Ögretmen adaylarinin MATO testinde gösterdikleri basari yüzdeleri Tablo 3'dedir.

Tablo 3. Ögretmen adaylarinin matematiksel okuryazarlik boyutlarini ölçen sorulara verdikleri toplam dogru cevaplarin dagilimi (n= 80).

Boyutlar	Soru  sayisi	Toplam  Dogru cevap	Basari  %'si	Agirlikli %
1. Matematik bilgisi boyutu	6	246	51	23.77
2. Matematiksel süreçler	6	317	66	30.63
3. Matematik tarihi	6	186	39	17.97
4. Güncellik	6	286	60	27.63
Max. dogru cevap sayisi	6	480	100	100

Grafik 1'de MATO düzeylerinin boyutlara göre dagilimi daha net görülmektedir.

Grafik 1. Ögretmen adaylarinin matematiksel okuryazarlik düzeylerinin boyutlara göre dagilimi (n= 80). (not: bilgisayar yuvarlatma islemi uygulamistir)

MÖA'larinin matematiksel süreçlerle ilgili sorularda yüksek performans göstermeleri ( % 66) alanin gerektirdigi düsünme ve mantik yürütme becerisini kazandiklarini göstermektedir. Sosyal ve güncel olaylardaki matematiksel iliskileri görme ve kullanabilme becerilerinin de (% 60) yeterli düzeyde oldugu söylenebilir. MÖA'larinin matematik tarihi ile ilgili sorularda gösterdikleri performans % 39 olup, diger boyutlara göre düsüktür. Bunun sebebi, ögretmen egitimi programlarinda matematigin tarihsel gelisimine yönelik konularin yada dersin yeterince olmamasi olabilir. Oysa ki, MÖA'larinin matematigin tarihsel gelisimine katkisi olmus matematikçilerle ilgili yeterli bilgi düzeyinde olmalarinin, meslekleri için önemli avantaj saglayacagina inanilmaktadir. MÖA'larinin çogunlugunun (%63.75), Ilkögretimde 1'den n'e kadar olan sayilarin toplami ögretilirken, genellikle ögrencilerin derse ilgisini çekmek için anlatilan Gauss'u ve formülün bulunus öyküsünü bilmemeleri ise dikkat çekici bir durumdur.

SONUÇLAR VE ÖNERILER

Çalismada ulasilan sonuçlar sunlardir:

* Matematik ögretmen adaylarinin en çok takip ettikleri süreli yayinlar, Matematik Dünyasi, Bilim Teknik ve Genç Beyin'dir. Tamami temel bilgisayar kullanimi bilgi ve becerisine sahiptir. Ayrica Cabri, Logo, Drive gibi programlari da bilmektedirler.

* Ögretmen adaylarinin MATO düzeyleri genel olarak orta seviyededir. MÖA'lari en yüksek performansi matematiksel süreçlerle ve güncellikle ilgili sorularda göstermislerdir. Matematik alan bilgisi ile ilgili düzeyde daha düsük performans göstermislerdir. Bunun sebebi, hatirlama sorunu olabilir. Buradan, MÖA'larinin iyi yetismis olduklari söylenebilir.

* Ögretmen adaylari, en düsük performansi matematik tarihi ile ilgili sorularda göstermislerdir. Bu durum ögretmen egitimi programlarinda matematigin tarihsel gelisimi ile ilgili yeterli konu yada dersin olmamasi ile açiklanabilir.

Çalismanin sonuçlarindan yararlanarak su önerilerde bulunulabilir:

* MÖA'larinin hizmet-öncesi dönemde MATO kazanmis olmalari matematik ögretimi için yararli olacaktir. Bu nedenle ögretmen adaylarinin MATO düzeylerini yükseltmek için ögretmen egitimi programlarina gereken dersler yada konular ilave edilmelidir.

* Ülkemizde matematik ögretiminin hedefleri yeniden düsünülürken "MATO" çagdas bir hedef olarak dikkate alinmali ve ileriye dönük planlamalar yapilmalidir.

* Ortaögretimdeki ögrencilerin MATO düzeylerinin belirlenmesine yönelik bir çalisma diger arastirmacilara önerilebilir.

Makale 2

GEOMETRININ KISA TARIHÇESI

Bilim adamlari ve ögretmenler meslek olarak seçtikleri alanin geçmisine yönelik genel kültüre sahipseler kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli olurlar; arastirma ve ögretimde daha faydali olacaklari gibi gelecekte yapilabilecekleri de daha kolay sezmege ve görmeye baslarlar. Bu nedenle konusmamin ilk kismini bu konuya ayirdim. Bilindigi gibi bilim tarihi içinde matematiksel gelismelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematigin orijininde de iki temel alan vardir: ARITMETIK ve GEOMETRI. Burada tarih boyunca geometrideki bulus ve gelismeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde verecegiz.

Insanoglunun dünyada olusumu M.Ö. 2 000 000 lu yillar olarak hesaplanmakta ve kabullenilmektedir. Ilk insanlarin uzun asirlar, hatta uzun milleniumlar boyunca çok ilkel bir yasam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yillarda sayma belirtilerine rastlanmis izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li yillar) taslara islenmis primitif geometrik sekiller tespit edilmistir. (Bu dönemin tarihte Kaba Tas Çagi oldugunu hatirlayalim!). Daha sonra tarim sayesinde yerlesik yasam yayginlasiyor, Maden Çaginda (M.Ö. 4000 li yillar) ilerleme ve medenilesme sürüyor. Gerçek gelisme yazinin ve rakamlarin icadi (Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onlari izleyen BABIL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adina sunlari biliyorlardi:

Üçgen ve çokgenlerin ALANLARININ hesaplanmasi

Pisagor Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasinda yazilan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini kapsayan tablolar var. Ispata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yil önce bu teoremi biliyorlardi.)

Bir çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller

Kesik kare piramidin hacmini veren formül

"Çapi gören çevre açi diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa Thales'den yaklasik 1000 yil önce biliniyor).

Ne Mezapotamyalilar ne de biraz sonra söz edecegimiz eski Misirlilar AÇININ ÖLÇÜLMESINI tam olarak gelistiremediler. Ancak yapi kirislerinin egimi hesabinda KOTANJANTA benzer bir kavram gelistirmislerdi. π yerine yaklasik degerler kullaniliyordu.

Geometrinin orijinin Misir olduguna iliskin yaygin fakat YANLIS bir kanaat (ve birçok kaynak!) vardir. Oysa Misirdaki matematiksel gelismeler, Mezapotamyadakileri yaklasik 500 yil sonradan izlemistir. (Bu yanlis bilginin kaynagi Mezapotamyadaki BABIL TABLETLERININ sifrelerinin çok geç, ancak 130 yil önce çözülmeye baslamasidir). Misirlilar bu kavramlar disinda

GEOMETRIK ESLIK kavramini kullandilar

M.Ö. 2800 lerde BÜYÜK PIRAMIDI insa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π, Günes isinlarinin hareketine göre sifreli iç yapisi gibi önemli özellikleri var].

Insanoglu yazinin icadindan hemen sonra tekerlegi icat edince (M.Ö. 3000) ulasim ve ticarette ulasilan kolayliklarin sagladigi gelismeler sayesinde π sayinin varligi ile karsilasti. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik sekillerle ilgili olan bu harika sayi tamamen geometri orjinlidir. (ryariçapli çember için, π=çevre/2r=alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalilar, Misirlilar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yillardan itibaren bir çok büyük matematikçi ugrasmislardir. Irrasyonelligi 1767 J. F. Lambert tarafindan ve transandant bir sayi oldugu çok sonralari (1882 de Alman matematikçi F. Lindemann tarafindan) ispatlanmistir.

Geometrideki gelismeler, daha sonra Bati Anadolu da devam etmektedir. Grek genislemesi ile Misir ve Mezapotamyadan ögrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö. 595) ve hemserisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafindan islenmis ve gelistirilmistir. Tales ve Pisagor'un DEDAKTIF GEOMETRI çalismalarindan hiçbir belge bugüne ulasmamistir. Ancak özellikle Pisagor ögrendiklerini ve bildiklerini bir çesit okul kurarak skolarlarina aktarmistir. Bu dönemde ISPATLI GEOMETRIye geçilmistir. Daha sonra gelismeler, Trakya, Mora yarimadasi ve Italya'ya yayginlasti. Cetvel ve Pergel yardimiyla;

Bir çemberinin alanina esit alanli kare çizmek

Açiyi üçe bölmek

Küpün hacmini iki katina büyütmek

gibi klasik problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asirda) çalisilmistir. (bu problemlerin izleyen asirda cebirsel egriler yardimiyla çözüldügü biliniyor). Geometri o kadar önem kazanmisti ki geometriye dogrudan hiçbir katkisi olmayan Plato kurdugu okulun kapisina BURAYA GEOMETRI BILMEYEN GIREMEZ yazisini koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRI TARIHIni yazdi,Aristeaus (M.Ö. 320) KONIKLER konusunu ayrintili inceledi.

M.Ö. 323 de Büyük Iskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma Imparatorlugunun Misir kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden sahlanmasini saglayan gelismeler oldu. Iskenderiye'de tamamen serbest egitim veren okullar kuruldu. Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adli eserleri yazdi. Bu eserler üzerine çok sey söylenebilir. Bugün bile ilkögretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin hemen hemen tamami bu eserlerde vardir. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat edilmis geometrik ifadeler bu dönemde mükemmellestirildi. Plato okulundan yetistigi sanilan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adi bu eserlerle yasamaktadir. Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRIGONOMETRI eserini yazdi, Heron birinci yüzyilda bazi formüller gelistirdi ve geometriye dayali birçok icatlar yapti. PappusM.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSIYONU yazdi. (Pappus teoremi altigenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlaniyor, ama bugün Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile kullanilmaktadir).

1143 yilinda ELEMENTLERin bati dillerine çevrildigi ve izleyen dönemlerde yavas yavas okullarda sistematik olarak okutuldugu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRI adli eserini yayinliyor, 1637 de Descartes ANALITIK GEOMETRIyi kesfediyor. 1639 ve 1640 da sirayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlariyla bilinen teoremlerini de kapsayan eserlerini yayinliyorlar. 1678 de Ceva TEOREMInin ispati veriliyor.

1670 de HIPERBOLIK GEOMETRININ ortaya atilisi, 1794 de Legendre'nin GEOMETRININ ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLIK kavrami üzerine çalismalari, 1826 da Poncale vePlucker'in geometride DUALLIK ILKESI, 1827 de Mobius, Plucker ve Feurbach'in HOMOGEN KOORDINATLARI isleyisleri gerçeklesiyor.

1822 de Poncale'nin bugün kendi adiyla anilan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adli eseri yayinladi. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayinlanan çalismalari ve bu konuda daha önce ayni sonuçlara ulastigi ve ispatlar anlasilan Macar Bolyai'nin çalismalari ile ÇOK PARALELLI (=hiperbolik) GEOMETRILERIN VARLIGI görüldü.

1843 de 4-boyutlu uzayin vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNIYONLARI kesfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel olmayan) projektif düzlemlerden birini insa etmekte kullanilmaktadir.

Daha sonraki yillarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRI DER LAGE'si, 1854 de Riemann'in HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayinlari ve son olarak 1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRI'si görülüyor. Bu son eser çok önemlidir onun üzerine daha sonra konusulacaktir.

Düzenli geometrik sekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanitlayarak bu kismi bitirelim: Gelisme ve medenilesmeye baslayan toplumlarda ilk düzgün geometrik sekiller, sirayla, tarla ve baglar gibi bölünerek islenen arazi parçalarinda; tapinaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet yerlerinde; su kanallari, köprüler, kervansaraylar gibi ulasimla ilgili yapilarda; han, kral, padisah ve imparator saraylari, Türbeler, Firavun Mezarlari ve sehir surlari gibi yapilarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve çok sayida modern teknik araçlarda görülmektedir.

Öklid Disi (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kisaligi saglamak için izleyen iki kisimda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktir. Öklid düzlemi yada kisaca düzlem denilince, herkesin anlayacagi bir dille söylersek, her dogrultuda sinirsiz uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve dogrulardan olusan düzlemde nokta ve dogrularla ilgili bazi ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSIYOM denilen ve dogal olarak saglandigi varsayilan bu ifadelerin ispati (asikar oldugundan) mümkün degildir. Geometri de kabullanilen aksiyomlarin SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomlari EK-1 de verildigi gibidir.

Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'i Playfair aksiyomu adiyla daha kisa ve özlü olrak; düzlemde bir dogruya disinda verilen bir noktadan geçen bir tek paralel dogru çizilebilir biçiminde ifade edilmistir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemedigi, yani süphe edildigi, içindir ki aksiyom olarak degil, postulat olarak ifade edilmistir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalismislardir. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve LobacevskiV. Postulatin diger aksiyomlarin sonucu olmadigini; bu postulat disindaki bazi Öklid Aksiyomlariyla birlikte

H:Bir dogruya disinda verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayida) paralel dogru çizilebilir

ifadesi alinarak yeni bir geometri olusturulabilecegini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayisiyla ÖKLID DISI GEOMETRI kavrami ortaya çikti. Öklid aksiyomlarini saglayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarini gerçeklestiren bir çok reel model gelistirilmistir. Bunlarin bir kaçini belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yari Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gauss ve Riemann'in çalismalari ile hiperbolik geometrideki gelismeleri degerlendirerek

P : Farkli iki dogru bir tek noktada kesisir

ifadesini ve bazi Öklid aksiyomlari ele alinarak PROJEKTIF GEOMETRI (ve genelde Eliptik Geometri) gelistirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca arastirma (makale), yüzlerce kitap yazildi ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayida önemli problemler vardir. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayri ayri geçerli oldugu geometriler ortaya çikti.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazi belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yillar boyunca bilinmesine karsin, aynen kullanilmislardir. Ancak Hilbert 1889 da çaginin bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarini yeniden düzenlemistir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRI adli eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmistir.

Artik Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasinca "mükemmel" olarak degerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyilda çagdas matematik bilgileri göz önüne alinarak daha kisa ve daha rafine bir aksiyom sistemi olusturulmustur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adli kitabindan aldigim ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) isleyen birçok eser de kullanilan Birkhoff'un METRIK AKSIYOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmistir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlilastirilmasini ilgilenenlere birakarak konumuzu biraz degistirelim.

3. Öklid Disi Geometri Anlayisinda Degisiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu saglamayan her Geometri Öklid disi bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artik Hilbert (veya es anlamli olarak Birkhoff) tarafindan verilen aksiyomlardan "en az birini saglamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayisi yerlesmis bulunmaktadir. Örnegin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini saglayan fakat sadece KAK:(Üçgenlerde Eslik) Aksiyomunu saglamayan bir geometridir. Dolayisiyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmistir. Bu konuda daha baska örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylikla hemen verilebilir.

Geometri ve Öklid Disi Geometrilerin Ögretimdeki Yeri ve Önemi

Olaylarin algilanmasinda resim, fotograf, grafik gibi sekillerin önemi yadsinamaz. Bir anlamda sekil bilgisi de demek olan geometri matematik ögretiminde yerine hiçbir sey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttugum bir çok derste ögrencilerime sunu tekrar tekrar söylüyorum:Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir sekille anlatilamasin. Eger bir konuyu iyi biliyorsaniz onu uygun bir sekille açiklayabilirsiniz. Sekille açiklayamadiginiz yani, geometrik yorumunu yapamadiginiz bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda herhangi bir matematik kavramini sorabilir ve geometrik açiklama isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi bes yildaki tüm derslerimde anlattigim her konuda temsili sekiller çizmegi aliskanlik haline getirdim. Çünkü görmek anlamayi kolaylastirir (Ingilizce'de "anliyorum" anlaminda da "görüyorum" ifadesinin sikça kullanilmasi bosuna degil!). Ülkemizde ilk ve orta ögretimde (hatta birkaçi hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantilari olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konulari incelenir. Öklid disi geometrilerin de sadece varligindan bir kaç cümle ile söz edilir. Oysabenzerlik, farklilik, aykirilik ve zitligin ögretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kisa kavramini belirlemeden uzun kavramini anlamlandiramazsiniz. Yine birbirine çok benzeyen iki seyi ayirabilmek için farkliliklarini ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid disi geometrilere. Kanatimce Öklid disi geometrilerin sadece varligindan söz edip birakmak oldukça sakincalidir. Nitekim, ABD ve bazi uzak dogu ülkelerinde orta ögretim programlari Öklid disi geometrilerden bazi örneklemelerle -basitlestirilerek- donatilmaktadir. Ögretmen yetistiren ögretim kurumlarinda Öklid disi geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadir. 1980 öncesi yillarda "Egitim Enstitüsü" adi altinda ögretim yapan okullarin programlarinda elemanter projektif geometri dersi vardi ama okutacak ögretmen yoktu. Bugün ilk ve orta ögretimde görev yapan ögretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarida saydigim konularda yetersiz ve donatimsiz oldugu bir gerçektir. Bunun sebebi ögretmenlerimiz degil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek ögretim kurumlarimiz ve bizleriz. Konusmaciniz bunun bilincine ancak ellili yaslarinda ulasmistir ve bu bosluk ve eksikligi kendi çapinda gidermek için bazi gayretler içindedir. Su anki teblig de bu düsüncenin eseridir.

Burada su sorular sorulabilir: Öklid disi geometrilerin orta ögretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasil anlatilabilir? Mevcut eksiklikler nasil giderilir?

Sorularin kisa cevabi kanaatimce söyle özetlenebilir:

Son sorudan baslarsak, eksikliklerin giderilmesi için ögretmen yetistiren yüksek ögretim kurumlarinda Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulmasi gerekir.

Son elli yilda artik EK-3 de sunulan (Metrik yaklasimli) aksiyom sistemi kullanilmaktadir. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metrigi ile gelistirilen geometride Öklid düzlemi ile ayni nokta ve dogru kümeleri kullanilmakta, açilar da ayni yolla ölçülebilmektedir. Bunlarin her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini saglamakta sadece Kenar-Açi-Kenar (KAK) aksiyomununda aykirilik göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyiciaksiyom oldugu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok baska kavramlarida belirlemekte ve tanimlamakta kullanilan UZAKLIK kavraminin tanimindan ortaya çiktigininögretici tarafindan iyi bilinmesidir. O, ögrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Asagidaki konular orta ögretimde basitlestirilerek örneklerle ögrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanitilir, modern yasamdaki çok sayidaki uygulamalari verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sagladigi fakat sadece KAK aksiyomunun saglanmadigi -asagidakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasinda Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli degildir. Örnegin; (1,-1)

"arada olma" yi daha belirlemek için metrik yaklasimda "C, A ile B arasinda ve CÎ Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde gelistirilmistir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yariçapli fakat gerektiginde sinirli bir bölgede yasam uygulamasi mümkün kilan Klein Modeli tanitilarak Öklid disi geometri kolayca anlatilabilir.

- Bu modelde paralellik nasil tanimlanir?

- Paralel olmayan ve kesismeyen dogrular var mi?

- Paralellik aksiyomu disindaki aksiyomlar saglanir mi?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yari düzlem hiperbolik geometrisi tanitilir. Paralellik aksiyomunun saglanmadigi, üçgenin iç açilari toplaminin 180 den küçük oldugu kolaylikla gösterilebilir.

Makale 3

Egitim kavrami bilgi toplumuna geçis sürecinde yeni anlamlar kazanmaktadir. Egitimin yeniden kavramsallastirma sürecinde; bilimsel gelismeler, teknolojideki gelismeler, bilginin yeniden örgütlenmesi ve akiskanligi ile toplumsal beklentiler önemli roller oynamaktadirlar. Bu makalede yukaridaki sözü edilen etkenler tek tek ele alinarak egitimin degisimi irdelenmistir.

Egitim, çagin temel paradigmasina göre sekillenir ve kendi egitim sistemini bütün özellikleri ile birlikte olusturmustur. Örnegin, sanayi toplumunda, egitim ve okul ile ilgili metaforlar incelendiginde "fabrika" sözcügü çok sik olarak karsimiza çikmaktadir. Ögrenciler ham maddedir ve toplumun istedigi yönde ve planlanan ürün niteligine göre biçimlendirilir. Ögrencilerin zihni bos bir kutu gibidir. Egitim yoluyla istenilen sekilde doldurulur. Zeka sabit ve degismez bir niteliktir. Bazilari daha zeki, bazilari degildir. Dolayisiyla bazilarinin sistem içinde elenmesi onlarin "iyi" olmadigini gösterir ve bu beklenen bir sonuçtur. Dersler alanlara, alanlar konulara, konular alt konulara bölünmüstür ve dogrusal bir biçimde yapilanmistir. Ölçme ve degerlendirme, sistemin en temel tasidir.

Toplum sürekli degisim halinde bir yandan yenilesirken, bir yandan da kendi mekanizmalarini yeni durumlara uygulamaktadir. Bilgi toplumu söylemi yeni durumlara uyum saglamak için ortaya atilan mekanizmalardan biridir; toplumun yenilesmesi ve bu yenilesmesinin yayginlasmasini saglamak içindir. Bu açidan bakildiginda, bir çok alanda özellikle is dünyasinda degisimde gözle görülür sonuçlari elde edilirken, egitim ve okulun kendi yapisini siki sikiya korudugunu söylemek yanlis olmasa gerek. Bunun nedenlerini egitimin degisimine isik tutacak temel faktörleri inceleyerek baslayabiliriz.

Bilimsel Gelismeler

Egitimi etkileyen bazi bilimsel gelismelere deginmeden önce bilime ve bilim yapma gelenegine olan bakis açisindaki degisime de yer vermekte yarar görmekteyim. Deterministik, dogrusal, mekanik, homojen gerçekligin oldugu, evrensel sonuçlarin elde edildigi, her seyin ölçülebilir ve gözlenebilirligi anlayisindan, olasiliga dayali, karsilikli etkilesim içinde, organik, karmasik (bilesik), zamana ve mekana bagli, simülasyon ve modellemeye dayali bir bilim anlayisina dogru geçis sürecini yasamaktayiz.

Egitim bilimleri olarak yeni anlayisa göre yeni bilim yapma araçlarina gereksinimimiz var. Bu araç ve tekniklerin gelismesi ve yayginlasmasi için biraz daha zamanin oldugu görüsündeyim. Bu açidan da matematikçilere çok is düsmektedir.

Bilimsel gelismeler içinde egitimi en fazla etkileyecek iki gelisme "ögrenme" ve "bireysel farkliliklar" konularinda olmaktadir. Ögrenme, hakim görüsün bir uzantisi olarak nesnelciler tarafindan bireyden bagimsiz bilginin bireye aktarimi ve bireyin bilgiyi anlikta depolamasi ile olustugu seklinde açiklanmaktadir. Yapilan arastirmalar ögrenmenin bireyin ona iletilen bilintiyi (information) kendi deneyim, bilgi, yetenek ve düsünceleri ile karsilikli iletisim halinde kendine özgü versiyonu ile olusturmasi ile gerçeklestigi konusunda önemli ipuçlari vermektedir. Ögrenme dinamik ve bilesik bir süreçtir.

Öte yandan, ögrenenleri "ayni" olarak görmek yerine bireylerin birbirinden farkli oldugu ve bu farkliligin boyutlarini anlamaya dönük arastirmalar son yillarda önem kazanmistir. Örnegin zeka bu özelliklerden biridir. Zekanin çok boyutlulugu ve karmasikligi egitimimizi, özellikle ögretim yöntemlerinin düzenlenmesinde önemli bir degisimi getirmistir. Ancak bu etki henüz ölçme ve degerlendirme yaklasimlarina yeterince yansimamistir.

Ögrenme stil ve stratejileri ise matematik egitimine de yansiyan önemli arastirma konularindan biri olmaktadir. Özellikle sosyal bilissel kuramlarin bulgulari hem ders programlarinin düzenlenmesinde hem de sinif içi etkilesime yön vermektedir.

Teknolojideki gelismeler

Teknoloji, bilimsel çalismalarin ve bu çalismalardan elde edilen ürünlerin insan hayatina yansimalari olarak açiklanabilir. Ancak teknoloji sadece yasamimiza girmekle kalmamakta, yasam biçimimizi de degistirmektedir. Son otuz-kirk yildir özellikle bilgi isleme teknolojilerindeki hizli degisim ve çesitlenme "bilgi toplumu" söylemine de etki etmistir. Bu anlamda teknoloji, degisimde ve yenilesmede önemli bir yapi tasi olarak karsimiza çikmaktadir. Önümüzdeki on'lu yillar için de bazi öngörülerde bulunmak kolay olmamaktadir. Ancak teknolojideki gelismelerin yasamimizi artan bir biçimde etkileyecegi söylenebilir. Bilginin gösterimi, akiskanligi ve iletisim, egitimi etkileyecek en önemli unsurlar olarak ortaya çikmaktadir.

Bilgi ve teknolojilerin mevcut okul sistemine entegrasyonu ile ilgili sayisiz çalisma bulunmaktadir. Gelismis ve gelismekte olan her ülke bu konuda yatirim yapmaktadir. Teknoloji ile ilgili bilgi ve becerilerinin kazandirilmasi ve ögretim ortaminin düzenlenmesi açisindan egitim etkilenmektedir. Matematik egitimindeki basariyi artirma konusunda bilgi ve iletisim teknolojilerinden (BIT) yararlanma ile ilgili arastirmalar, etki büyüklüklerinin 0,30-0,70 arasinda degistigini göstermektedir. Ancak henüz BIT' lerden istenilen düzeyde yarar saglanmadigi görüsü agir basmaktadir.

Toplumsal Beklentiler

Son on yillarda egitim ile ilgili hosnutsuzluklar her ülkede söz konusu olmustur. Bu amaçla sayisiz proje hayata getirilmis ve getirilmektedir. Ancak bunlarin çogu hayal kirikliklari ile sonuçlanmistir ve sonuçlanmaktadir. Bu bizi egitimin henüz toplumsal beklentileri karsilamadigi sonucuna götürmektedir.

Yirmi yil önce is dünyasi, hizli is gören, algilamasi kuvvetli, çabuk karar veren, is sorumlulugu olan, yurtdisi ile iyi etkilesim içinde olan bireylere ihtiyaç duyarken son zamanlarda ögrenmeyi ögrenen, sürekli ögrenen, yaratici, isin bütün süreçlerini bilen, takim çalismasina yatkin, hata yapmaktan korkmayan ve esnek düsünebilen bireylerden söz etmeye baslamistir. Bu niteliklerin farkli alanlardaki yeni söylemlerle uyustugunu söylemek yanlis olmasa gerek.

Öte yandan egitim ile ilgili karar vericiler, yöneticiler, ögretmenler ve diger tüm aktörler bu niteliklerin ögretim programlarina ve ögretim ortaminin düzenlenmesindeki önemini vurgulamaktadirlar. Ancak bunlari gerçeklestirmenin yollari ve teknolojisi henüz bilimsel arastirmalar düzeyindedir ve yayginlasmasi için gerekli mekanizmalar ile ilgili çalismalar baslangiç asamasindadir.

Bilginin Yeniden Düzenlenmesi ve Akiskanligi

Hangi ortam ve araç olursa olsun, bilintinin seçimi, düzenlenmesi ve sunulmasi ile ögrenenin bu bilinti ile ilgili bilgi olusturma sürecini saglayan dissal düzenlemeler ve bunun olusup olusmadigi bilgisinin degerlendirilmesi okulun en temel islevlerinden biridir. Böylece okulu bir "Bilgi Evi" olarak düsünmek hiç de yanlis olmasa gerek. Egitim bir yandan bilintiyi örgütlerken bir yandan da ögrenenin bilintiyle nasil bir iliski kuracagi ile ilgili süreci de düzenlemektedir.

Bu noktada hangi kavram, ilke ve kuramlarin nasil örgütlenecegi ve sunulacagi önemli bir soru olarak karsimiza çikmaktadir. Bilim alanlarinin yeniden sekillenmesi, "multidisipliner" alanlar ve bütüncül bir yaklasim anlam kazanmaktadir. Egitim sistemine, bu durum yeni konularin eklenmesi ile karsimiza çikmaktadir. Ayrica "proje" dersleri gibi dersler ya da probleme dayali ögrenme gibi kavramlar bunun bir yansimasidir [Bütüncül bir yaklasim özellikle Tip Fakültelerinin programlarini etkilemistir].

Öte yandan çoklu gösterim teknikleri, bilginin farkli biçimlerdeki düzenlemeleri de egitimde, özellikle matematik egitimde önemli bir yer almaktadir. Bir bilintinin metinsel, grafiksel, sembolik, resimsel, sesli ve hareketli görüntüler olarak iletiminin nasil olacagi, bunlar arasindaki etkilesim ve ögrenmeye etkisi konusunda yapilan arastirmalar matematik egitimine yeni bir boyut getirmektedir. Teknolojinin bu konudaki etkisi de yadsinamaz.

Geleneksel egitim yapisinda bilginin aktarim yolu ögretmen ve kitap ile sinirli iken artik teknoloji yoluyla iletim daha da agirlik kazanmaktadir. Aslinda bilgi okulun tekeli olmaktan çikmistir. Ögrenenler çok farkli iletisim araçlari ile bilintiye ulasabilmektedir. Seçeneklerin artmasi bir çok durumun sorgulanmasi da beraberinde getirmektedir. Egitim, Internet ve WEB teknolojilerine çok sicak bakmakla birlikte bu konuda ne kadar içten oldugu kusku duyulacak bir konudur.

Sonuç

Egitim, yeniden kavramsallasmaktadir. Yaratici, elestiren, düsünen, sorgulayan, arastiran bireyler aslinda özgürlesen bireylerdir. Özgürlesme, var olani oldugu kabul etmemeye ve yenilikler yaratma ile ilgilidir. Öte yandan ögrenmeyi ögrenen, iletisim kurabilen, teknolojiye hakim, bilgiyle dost, topluma ve çevresine duyarli bireyler ise güçlenme ile ilgilidir. Egitim sistemi bireylerin özgürlesme ve güçlenmesini saglayacak ortamlari düzenleyebilecek midir? Egitim, kendi adiyla çelisen bir kavramsallasmayi içine sindirebilecek midir? Ya da egitim yerine yeni sözcükler üretmenin zamani geldi mi?

Makale 4

İnsanlığın geriye doğru altıbin yıllık tarihine baktığımızda, şimdi ulaştığımız uygarlığa varmak için verilen zorlu savaşta, bilim ve düşünce insanlarının verdiği kayıpların, politikacıların verdiği kayıplardan kat kat fazla olduğunu görüyoruz. Böyle olması çok doğaldır. Çünkü bilim adamı gerçeğin peşindedir. Bulduğunda onu apaçık ortaya koyar. Politikacı ise iktidarı ele geçirme peşindedir. Ele geçirdiğinde de onu kaybetmemek için uğraş verir. Birincilerin çabası bugün bilimde sanatta, teknolojide ulaştığımız dorukları yaratmıştır. İkincilerin çabası ise, çoğunlukla, toplumlara haketmedikleri savaşları ve acıları yaşatmıştır.
Giza piramiti insan aklının tasarladığı görkemli bir yapıttır. Ama o piramiti yapan milyonlarca kölenin yaşadığı acıyı, sefaleti ve ölümü yaratan politikadır. Sokrates’in gerçekleri halka açıklaması bilimdir; ona baldıran zehrini içirten politikadır. Atomun sırlarını bir bir ortaya koyan bilimdir, ama o uğurda çalışan Rosenbergler’in idam fermanını veren politikadır. İbni Rüştler akıl yolunda yürümek istediler, ama siyaset onları ölüme göndermekte tereddüt etmedi. Bu listeyi istediğiniz kadar uzatabiliriz… Liste yapmak yerine, bilim adamlarının yaşadığı trajik olaylardan birisini ele alarak, belki günümüzde yaşananlara farklı bir açıdan bakılmasını sağlayabiliriz.
Giardano Bruno, yakılarak öldürülen ilk bilim adamıdır. Rönesans felsefesini biçimlendiren filozofların en önemlilerinden sayılan Bruno, 1548 yılında İtalya’nın Nola kasabasında doğdu. Soylu bir ailenin çocuğudur. Onaltı yaşında Dominiken tarikatına girdi. Ama parlak zekası ve öğrenme isteği onu, o dönemlerde kilise tarafından yasaklanan Kopernik evren kuramıyla tanıştırdı. O noktadan sonra, tüm kişiliklerin silindiği bir dogmatik

düşünce sisteminde, yani bir tarikatta kalamayacağını anladı. O, artık aklını özgürleştirmiş, evren ile ilgili gerçeği arama peşine düşmüştür. Özgür aklı, onu kilisenin dogmalarının ne denli yanlış olduğu gerçeğine götürdü.
“Bu evrende hiçbir şey yoktan varolmaz ve yok olmaz. Uzayda mutlak konum yoktur, her cismin yeri ötekilere göreli(relative)dir. Her şey hareket halindedir. Gözlemci kendisini merkezde görür.”
Bu görüşler, bilimin felsefeden boşandığı Bruno döneminde değil, ancak 20.yüzyılda Einstein ile kuvvet kazanabilecek görüşlerdir. Ama Bruno bununla yetinmeyecek, klisenin dogmalarına da karşı duracaktır:
“İsa tanrı değil, olağanüstü becerikli bir büyücüdür. Hristiyanlık tümüyle akıl dışıdır (irrational), bilimsel dayanaktan yoksundur.”
Aklının onu ulaştırdığı gerçekleri çekincesiz söylemeye başladı. Kilise’nin resmen benimsediği Aristo evren kuramının yanlış olduğunu, dünyanın sabit durup, güneşin dünya etrafında dönmediğini, Kopernik’in dediği gibi dünyanın güneş etrafında döndüğünü savunmaya başladı. Daha da ileri giderek, kilisenin benimsediği gök ile yer ayrılığını red ederek evrenin sonsuzluğunu benimsedi. Tanrının ve evrenin aynı gerçekliğin iki sonsuz görünümü olduğunu, onların birbirlerinden farklı olmadığını savunmaya başladı. Bugün bize çok doğru ve apaçık görünen düşünceler, o gün için Bruno’nun kilise tarafından aforoz edilmesi için yeterli nedenlerdi. Kilise onu din sapkınlığı ile suçladı. Engizisyon mahkemesinden kurtulmak için, önce Kuzey İtalya’ya geçti.
Bruno, gerçeği arayan bir bilim adamı olmak yanında, bir filozof, bir şair bir edebiyatçı idi. Bu nitelikleri onu sürekli yazmaya itiyordu. Ne var ki, gerçekleri apaçık söylemesi politik açıdan sakıncalı sayılıyordu. O nedenle İtalya’yı terk etti. Sırasıyla Fransa, İngiltere, Almanya ve İsviçre’de tutunmaya çalıştı. Her gittiği yeni yerde ilkönceleri ilgi odağı olmayı başarıyor, ama bir süre sonra düşüncelerini apaçık söylemesi sakıncalı sayılıyor ve onu politik açıdan gözden düşürüyordu. Son durağı olan İsviçre’de yorgun ve sefalet içindeydi. Venedikli bir aristokrat’tan davet alınca hemen kabul etti. Ancak, çok geçmeden düşünceleri Venedikli aristokratı rahatsız etti. Aristokrat onu engizisyon mahkemesine şikayet etti. Hemen tutuklandı. Yedi yıl zindanda kaldı. Ona hangi suçlamaları yönelttikleri bugün belgelenemiyor;

o belgeler yok edildi. Ancak, bilinen bir gerçek var. Engizisyon mahkemesi, Bruno’ya, kilisenin resmi görüşüne uymayan düşüncelerini terk ettiğini açıklaması koşuluyla, hayatını bağışlayacağını söyledi. Aynı öneriyi kısa süre sonra ünlü fizikçi Galileo Galilei (1564 – 1642) kabul edecek ve “dünya dönmüyor” diyerek yakılmaktan kurtulacak; ömrünün sonuna kadar evinde göz hapsinde yaşamaya mahküm edilecektir. Ama Bruno kilisenin isteğini kabul etmedi. O bildiği gerçekleri inkâr edebilecek birisi değildi:
"Ne gördüğüm gerçeği gizlerim, ne de onu apaçık söylemekten korkarım. Bilim ve cehalet arasındaki savaşa her yerde katıldım. Bundan dolayı her yerde zorlukla karşılaştım. Cehaletin babaları olan resmi akademisyenlerin yanı sıra kalın kafalı çoğunluğun öfkesinde hedef olarak yaşadım."
-Bana ölüm emrimi tebliğ ederken, benim ölümden korktuğumdan daha çok korkuyorsun!
Engizisyon mahkemesinin kararı, 1600 yılında, Roma'da Campo dei Fiori meydanında uygulandı. Bruno diri diri yakıldı.
Bugün o meydanda Bruno’nun görkemli bir heykeli var. Kuşaklar boyunca, o heykeli görenler Bruno’yu hayranlıkla, onu yakanları ise nefretle anacaklar.
Bilime ve düşünceye gem vurmak hiçbir dine, hiçbir krala, hiçbir politikacıya yarar sağlamadı. İnanmayanlar Campo dei Fiori meydanına gidip, Bruno’nun kahramanca ve coşkuyla insanlığa ışık saçmaya devam ettiğini görebilirler. Görecekleri şey, gerçek bilim ve düşünce adamlarının onurlu duruşudur.
“Gerçek bilim adamı” nitelemesindeki “gerçek” sıfatı gereksiz sayılabilir. Bilim adamı zaten “gerçek” sıfatını taşır, diyenler olabilir. Ama çok yakın geçmişe bile değil, yaşadığımız günlere bakın. Bruno’nun deyimiyle ne çok “cehaletin babaları olan resmi akademisyenlerin” medyada cirit attığını göreceksiniz. Uzun süre Türk Yüksek Öğretim Sisteminin başında kalan birisinin, özel yetkili savcının sorgusundan çıkarken “Ben Amerikacıyım!” diye bağırması ile Brunu’nun yedi yıl zindanda engizisyona direnmesini eş tutabilir misiniz? Meydan genişken mangalda kül bırakmayan, meydan daralınca saçak altına saklananları gerçek bilim adamı sayabilir misiniz?

Ama umutsuzluğa yer yok. Şöyle bir çevrenize bakın, ne çok Brunolar olduğunu ve onurla gerçeği savunduklarını göreceksiniz. İnsanlık erdemini yaratanlar ve insanlığı yüceltenler onlardır. Onlar insanlık için acıyı çeker, baldıran zehrini şerbet niyetine içebilirler. Unutmayın ki Theodor Adorno’nun dediği gibi “bilim itaatsiz olana ihtiyaç duyar”.

Makale 5

YENI EGITIM ANLAYISLARININ MATEMATIK EGITIMINE YANSIMASI

* Asil hedefi sistemli, mantikli düsünmeyi, problem çözmeyi ögretmek olan matematik egitiminin, degisen egitim anlayislarindan bire-bir etkilenmesi kaçinilmazdir. Söyle ki,

* Dünün ögretmen merkezli, ögretmenden ögrenciye tek yönlü bilgi akisina dayali, kalabalik siniflari giderek yerini bilgi toplumlarinin ögrenci merkezli, bireysel farkliliklarin dikkate alindigi, özgürce konusma, tartismanin özendirildigi ögrenme ortamlarina birakiyor.

* Günümüzde matematik egitimi arastirmalari içinde "iletisim" ile ilgili olanlara her zamankinden daha fazla yer veriliyor. Çünkü matematiksel fikirlerin birden fazla bakis açisiyla tartisildiginda katilimcilarin fikirlerini keskinlestirmeleri ve baglantilar kurmalari saglaniyor.

* Yeni egitim yaklasiminda ögrencilere çesitli seçenekler sunuluyor: Herkese kendi ögrenme stiline uygun ortamlarda ögrenme firsati saglaniyor...

* Matematik egitiminde de çoklu sunumlarin önemi vurgulaniyor... Örnegin bugün ABD'de, bazi eyaletlerde, matematik egitim programlarinin yalniz "çözümsel muhakeme" yaklasimi kullananlara uygun oldugunun, "bütünsel", "pratik" yada "soyut" yaklasimlara pek de uygun olmadiginin fark edilmesi ile yeniden gözden geçirildigini, farkli muhakeme yaklasimi kullananlar dikkate alinarak yeniden düzenlendigini biliyoruz. Herkesin kendi ögrenme stiline uygun olanini seçmesi için açiklamalar örnegin hem resimle, hem tabloyla, hem grafiklerle yapiliyor.

* Ögrencilerin aktif katilimiyla gerçeklesen, neyi, nasil ögrenecegine karar hakki veren "aktif ögrenme yöntem ve teknikleri" her geçen gün biraz daha yayiliyor.

* Matematik egitiminin en önemli amaci düsünmeyi, problemlere çözüm yollari aramayi, iliskileri yakalama ve çözmeyi ögretme olduguna göre aktif ögrenme yöntemlerinin matematik egitimine dogrudan yansimasi kaçinilmaz olmaktadir. Nitekim, aktif ögrenmeyi anlatan kaynaklarin çogunda, teknikler açiklanirken verilen örneklerin birçogunun matematikle ilgili olmasi rastlanti degildir.

* Ögretmen basariyi degerlendirmede tek yetkili olmaktan çikiyor, kimi ögretmenlerce sinifta otorite saglayabilmek için kullanilan not silahi ellerinden gidiyor. Degerlendirmede ögrenciye söz hakki veriliyor. Örnegin ögrenci, hizla yayginlasan bir degerlendirme araci olan "bireysel gelisim dosyasinda (portfolyo)" yer almasini istemedigi unsurlari dosyasindan çikarabiliyor.

* Matematik egitiminde de portfolyo kullanimi her geçen gün yayginlasiyor. Ögrencinin kendisinin degerlendirilmesinde söz hakki olmasi, matematige karsi gerginligin azaltilmasi için önemli bir destek sagliyor.

BILGI TOPLUMUNDA MATEMATIGIN YERI

Matematik egitiminin, degisen egitim anlayislarindan bire-bir etkilenmesinin yani sira, yeni egitim anlayislarinin yükselen degerlerinin pek çogunun matematik egitiminde dogasi geregi zaten önemli bir yeri oldugu da inkar edilemez.

* Zaman eskisinden çok daha hizli akiyor, parayi çabuk davranan kazaniyor. "Vakit nakittir!" özdeyisine uygun olarak hizli düsünen, çabuk ama isabetli kararlar verebilenler basariyi yakaliyor. O halde egitimde "hiz" daha önceleri hiç olmadigi kadar önem kazaniyor.

"Hiz" matematiksel düsünmede her zaman önemli degiskenlerden biri olarak kabul edilmistir. Ayni zorluktaki problemleri daha kisa sürede çözen daha basarili kabul edilir.

* Bilgiye ulasma yollarini bilmek de yeterli degil, günümüz insani neyi ne kadar bilmesi gerektigini ayirt edebilmeli, kendisini, ögrenme stilini tanimali...

"TV izlerken matematik çalisilmaz" yada "kalemi kagidi eline almadan matematik ögrenilmez!" türünden yargilari duymayan yoktur. Birçok kisi kendisinin en iyi nasil ögrendiginin ayirtina matematik çalisirken varmistir. Çünkü yaygin inanisa göre matematik "zordur" ve zaten zor olan konulari ögrenmeyi kolaylastirmak için elden gelen yapilmalidir... Bazilari matematik çalismak için gece, geç saatleri, bazilari sabahin erken saatlerini seçer. Bazilari yalnizken, bazilari arkadaslariyla birlikteyken, konusup tartistiklarinda daha iyi ögrendigini fark eder. Bazilari hafif bir müzik esliginde, bazilari ancak kesin sessizlik varken daha kolay düsünür, çözümler üretir...

* Matematik egitiminde belki de hiçbir zaman tam anlamiyla "Ögretmen merkezli" bir egitim yapilamamistir. Çünkü matematiksel muhakeme ve problem çözme ögretilemez, ancak ögrenilir. Bir baska deyisle, düsünme bireysel bir süreçtir ve kisiye özgü farkliliklar tasir. Matematikte, özellikle problem karmasiklastikça seçenekler farklilasir, ayni bilgiye sahip oldugu halde bazilari çözümü görür, bazilari göremez.

Her ne kadar çesitli sinavlara hazirlanmak amaciyla gidilen dersanelerimizde tersi yapilmaya çalisilsa da, matematik derslerinde bazi problemler ve bu problemlerin çözüm yollari degil, düsünme ve çesitli problemlere çözüm yollari bulma ögrenilir. Çünkü teker teker tüm problemleri ve bunlarin çözüm yollarini ögrenmek için bir ömür yetmez... Matematik, bilginin kendisinden çok ona ulasmak için geçirilen süreçle ilgilidir...

SONUÇ...

Gelecegin toplumlari için hedeflerde asil önemli degisiklik, hedeflenen insanin niteliginde... Düne kadar "vasat" ölçü alinarak, prototip olarak yetistirilmesi hedeflenen kitlelerden artik baskalarina benzemeye çalismayan, kendine özgü fikirleri olan, düsünen, yaratici, hobileri olan, kendine, hobilerine zaman ayiran bireyler olmalari bekleniyor.

Matematigin dogasi geregi yeni egitim anlayisina yatkin olmasi, ondan unsurlar barindirmasi, yeni egitim anlayisi içinde matematik egitimini ayricalikli bir yere oturtmakta ve önemini arttirmaktadir. 2000 yilinin BM tarafindan dünyada "Matematik Yili" ilan edilmesi, matematik egitimine dikkat çekmek ve daha iyi düsünen nesiller yetistirmek özlemiyle açiklanabilir.